Em quanto tempo 800 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 2% ao ano, se reduzirá a 200 g? Use:


em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 

Em uma determinada cidade a taxa de crescimento populacional e de 4% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 

População do ano-base = P0 
População após um ano = P0 (1,04) = P1 
População após dois anos = P0 (1,04)² = P2 

População após x anos = P0 (1,04)x = Px 

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, temos: 

                              

Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura H(t) e do diâmetro do tronco D(t), desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:


H(t)= 1 + (0,8 ) * log2(t+1)
D(t)= (0,1) * 2^t/7


Com H(t) e D(t) em metros e t em anos. Responda que se pede:


a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.


b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado dessa árvore, em cm.

Matemática

                 

 

                                        Gustav Theodor Fechner

    Como vários outros matemáticos e físicos brilhantes, Gustav Theodor Fechner como professor em Leipzig a partir de 1834, teve sua importância em ambas as áreas.

    Um cientista alemão nascido no dia 19 de abril de 1801 em Gross Särchen, elaborador da Lei de Fechner. Formado em medicina em Leipzig (1822). Inicialmente dedicou-se no estudo da óptica e da eletricidade, após alguns anos passou por uma grave crise pessoal devido a uma ameaça em 1839 de cegueira pela observação direta do Sol durante estudos sobre pós-imagens visuais ou imagens persistentes, como conseqüência foi seu interesse por questões psicológicas e religiosas.

     Fechner publicou duas obras filosóficas: Nanna, ou sobre a vida psíquica das plantas (1848) e Zend-Avesta, ou sobre as coisas do céu e do além (1891), influenciado por Schelling e por pensadores orientais.

    O filósofo e psicólogo alemão, estabeleceu a lei psicofísica que se tornou conhecida como a lei de Veber- Fechner: “A sensação veria com o logaritmo da excitação.” São os logaritmos invadindo o campo da Psicologia, como já invadiram a Astronomis, a Econômia, a Química, a Música, a Biologia entre outras áreas.

    Para Fechner, o físico e o psíquico não seriam realidades opostas, mas aspectos de uma mesma realidade essencial. O universo seria um conjunto vivificado de seres finitos sustentados pela infinitude de Deus. Assim, as leis naturais seriam manifestações da perfeição divina.

Aplicação dos logaritmos na Econômia

   Logaritmos é uma das inversas da potenciação. É usado sempre que precisamos saber um expoente.
Dessa forma, qualquer utilização que precisa se descobrir o expoente é uma utilização dos logaritmos.
São muito usados em matemática financeira para se descobrir o tempo de uma aplicação a juros compostos, para se descobrir altitudes, pH de substâncias químicas, quantidade de radioatividade , tempo de resfriamento de corpos (polícia científica) e no estudo de populações. Antes da difusão das calculadoras era muito utilizada para se simplificar cálculos, além das escalas das antigas réguas de cálculo.

                                                         Exercícios - Resolução
 

1 - Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais
de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$
3.500,00? 

Resolução: 

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de
logaritmos é imprescindível.
 

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema,
temos:
 

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?
 

M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7
 

Aplicando logaritmo
log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
 

O montante de R$ 3.500,00 será originado após 56 meses de aplicação.